我們提出了一種處理傅里葉變換的方法，其并不需要二次多項式相位項的抽樣，而是用解析的方法處理。我們提出該理論的同時也給出了幾個例子證明其潛力。
1.簡介
物理光學建模需要頻繁地從空間轉換到角頻域，反之亦然。這可以由電場和磁場分量的傅里葉變換得到。所以，快速傅里葉變換（FFT）算法成了快速物理光學建模的支柱[1]。FFT技術的數(shù)值計算量與場分量復振幅所需采樣點的數(shù)量近似成線性關系。在光學中，我們經常處理有強波陣面相位的場分量，例如：球形。但是由于2π模，平滑的波陣面相位的復抽樣導致了大量的數(shù)值計算工作，甚至在FFT中也是如此。
2.理論
2.1 場的表征：提取二次相位
我們從空間域的符號開始，在本文中我們使用符號  對應6個場分量，也就是V = (E, H)：
 (1)
在公式1中，我們假設場  有兩部分：衍射場  和一個平滑的波陣面相位exp(iψ(ρ))。對于得到的結果，我們從波陣面相位中提取二次相位exp(iψ(ρ))并且將余下的部分認為是余項場  。假設exp(iψ(ρ))可由其實數(shù)系數(shù)C和D = (Dx, Dy)給出：
 (2)
顯然，在強二次相位情況中，全場 比余項場需要更多的抽樣量。所以，我們的目標是通過FFT且無二次相位項exp(iψ(ρ))抽樣的情況下，計算V(ρ)的傅里葉變換。
2.2.半解析傅里葉變換
從卷積定理可知：
 (3)
通常來說，項  必須進行數(shù)值計算處理。另一方面，從數(shù)學角度[2]我們可知：
 (4)
適用于任何復  ，只要R{a} ≥ 0且a ≠ 0。
在該數(shù)學工具的幫助下，項κ[exp(iψ(ρ))]的解析表征可以推導出來：
 (5)
其中：
 (6)
其中常數(shù)項  。
將公式5帶入公式3，通過改變卷積和傅里葉變換積分的階次，我們發(fā)現(xiàn)  可以表示為：
 (7)
其中：
 (8)
這里，  和坐標項  。公式7-8是半解析傅里葉變換的數(shù)學表達式。它表示全場的FFT可被兩個余項場的FFT替代。
3.數(shù)值仿真
這些概念在物理光學建模和設計軟件Wyrowski VirtualLab Fusion[3]中實現(xiàn)。
3.1.有效性測試1：純二次相位
在第一組測試中，我們準備了余項場 ，其幅度信息如圖1所示，且相位為零。我們將不同的二次相位項exp(iψq(ρ))與之相乘，組成 。然后我們分別對全場 應用FFT和半解析FFT。
圖2展示了不同情況下FFT和半解析FFT所需的采樣點。可以發(fā)現(xiàn)當場有強二次相位時，半解析FFT需要比FFT少得多的抽樣點。
在圖3中我們給出了三個典型位置的角頻譜的振幅。解釋了波陣面相位的物理意義，因此當波陣面相位非常小時，在FT中衍射效應占主導地位。否則，當波陣面相位增加時，F(xiàn)T展現(xiàn)了越來越多的幾何特征。
3.2 有效性測試2：球形相位
在第二組中，我們將乘上另一種相位：球形相位  。
不像測試1，我們只能用解析方法處理二次部分而不能處理整個球形相位。所以，余項場的相位不再是零而是球形和二次相位之間的差值，并且它會隨著球半徑r的減小而越來越大。
不同情況下FFT和半解析FFT的抽樣點于圖4給出。結果顯示在強球形相位情況下，由于相位差， 需要更多的抽樣點，這導致了半解析FT的抽樣數(shù)量同樣增加了。
4.結論
我們論證了半解析FFT的推導并且展示了幾個數(shù)值例子。事實表明，半解析FFT的采樣僅取決于余項場。在波陣面相位較強的場中，半解析FFT需要的采樣點明顯較少。
參考文獻
[1] E. O. Brigham, “The fast Fourier transform and its applications.” (1988).
[2] L. Mandel and E. Wolf, Optical coherence and quantum optics (Cambridge university press, 1995).
[3] “Wyrowski VirtualLab Fusion, developed by Wyrowski Photonics UG, distributed by LightTrans GmbH,”.
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