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半解析快速傅里葉變換
時(shí)間:2019-08-05 10:35來(lái)源:訊技光電作者: 技術(shù)部點(diǎn)擊:次打印
我們提出了一種處理傅里葉變換的方法,其并不需要二次多項(xiàng)式相位項(xiàng)的抽樣,而是用解析的方法處理。我們提出該理論的同時(shí)也給出了幾個(gè)例子證明其潛力。
 
1.簡(jiǎn)介
 
物理光學(xué)建模需要頻繁地從空間轉(zhuǎn)換到角頻域,反之亦然。這可以由電場(chǎng)和磁場(chǎng)分量的傅里葉變換得到。所以,快速傅里葉變換(FFT)算法成了快速物理光學(xué)建模的支柱[1]。FFT技術(shù)的數(shù)值計(jì)算量與場(chǎng)分量復(fù)振幅所需采樣點(diǎn)的數(shù)量近似成線性關(guān)系。在光學(xué)中,我們經(jīng)常處理有強(qiáng)波陣面相位的場(chǎng)分量,例如:球形。但是由于2π模,平滑的波陣面相位的復(fù)抽樣導(dǎo)致了大量的數(shù)值計(jì)算工作,甚至在FFT中也是如此。
 
2.理論
2.1 場(chǎng)的表征:提取二次相位
 
我們從空間域的符號(hào)開始,在本文中我們使用符號(hào)對(duì)應(yīng)6個(gè)場(chǎng)分量,也就是V = (E, H):
 
 
(1)
 
在公式1中,我們假設(shè)場(chǎng)有兩部分:衍射場(chǎng)和一個(gè)平滑的波陣面相位exp(iψ(ρ))。對(duì)于得到的結(jié)果,我們從波陣面相位中提取二次相位exp(iψ(ρ))并且將余下的部分認(rèn)為是余項(xiàng)場(chǎng)。假設(shè)exp(iψ(ρ))可由其實(shí)數(shù)系數(shù)C和D = (Dx, Dy)給出:
 
(2)
顯然,在強(qiáng)二次相位情況中,全場(chǎng)比余項(xiàng)場(chǎng)需要更多的抽樣量。所以,我們的目標(biāo)是通過FFT且無(wú)二次相位項(xiàng)exp(iψ(ρ))抽樣的情況下,計(jì)算V(ρ)的傅里葉變換。
 
2.2.半解析傅里葉變換
 
從卷積定理可知:
 
 (3)
 
通常來(lái)說,項(xiàng)必須進(jìn)行數(shù)值計(jì)算處理。另一方面,從數(shù)學(xué)角度[2]我們可知:
 
 (4)
 
適用于任何復(fù),只要R{a} ≥ 0且a ≠ 0。
在該數(shù)學(xué)工具的幫助下,項(xiàng)κ[exp(iψ(ρ))]的解析表征可以推導(dǎo)出來(lái):
                     (5)
其中:
                      (6)
其中常數(shù)項(xiàng)。
將公式5帶入公式3,通過改變卷積和傅里葉變換積分的階次,我們發(fā)現(xiàn)可以表示為:
(7)
其中:
 (8)
這里, 和坐標(biāo)項(xiàng)。公式7-8是半解析傅里葉變換的數(shù)學(xué)表達(dá)式。它表示全場(chǎng)的FFT可被兩個(gè)余項(xiàng)場(chǎng)的FFT替代。
 
3.數(shù)值仿真
 
這些概念在物理光學(xué)建模和設(shè)計(jì)軟件Wyrowski VirtualLab Fusion[3]中實(shí)現(xiàn)。
 
3.1.有效性測(cè)試1:純二次相位
 
在第一組測(cè)試中,我們準(zhǔn)備了余項(xiàng)場(chǎng),其幅度信息如圖1所示,且相位為零。我們將不同的二次相位項(xiàng)exp(iψq(ρ))與之相乘,組成。然后我們分別對(duì)全場(chǎng)應(yīng)用FFT和半解析FFT。
 

 
圖2展示了不同情況下FFT和半解析FFT所需的采樣點(diǎn)?梢园l(fā)現(xiàn)當(dāng)場(chǎng)有強(qiáng)二次相位時(shí),半解析FFT需要比FFT少得多的抽樣點(diǎn)。
 

 
在圖3中我們給出了三個(gè)典型位置的角頻譜的振幅。解釋了波陣面相位的物理意義,因此當(dāng)波陣面相位非常小時(shí),在FT中衍射效應(yīng)占主導(dǎo)地位。否則,當(dāng)波陣面相位增加時(shí),F(xiàn)T展現(xiàn)了越來(lái)越多的幾何特征。
 
3.2 有效性測(cè)試2:球形相位
在第二組中,我們將乘上另一種相位:球形相位 。
不像測(cè)試1,我們只能用解析方法處理二次部分而不能處理整個(gè)球形相位。所以,余項(xiàng)場(chǎng)的相位不再是零而是球形和二次相位之間的差值,并且它會(huì)隨著球半徑r的減小而越來(lái)越大。
不同情況下FFT和半解析FFT的抽樣點(diǎn)于圖4給出。結(jié)果顯示在強(qiáng)球形相位情況下,由于相位差,需要更多的抽樣點(diǎn),這導(dǎo)致了半解析FT的抽樣數(shù)量同樣增加了。
 

 
4.結(jié)論
我們論證了半解析FFT的推導(dǎo)并且展示了幾個(gè)數(shù)值例子。事實(shí)表明,半解析FFT的采樣僅取決于余項(xiàng)場(chǎng)。在波陣面相位較強(qiáng)的場(chǎng)中,半解析FFT需要的采樣點(diǎn)明顯較少。
 
參考文獻(xiàn)
[1] E. O. Brigham, “The fast Fourier transform and its applications.” (1988).
[2] L. Mandel and E. Wolf, Optical coherence and quantum optics (Cambridge university press, 1995).
[3] “Wyrowski VirtualLab Fusion, developed by Wyrowski Photonics UG, distributed by LightTrans GmbH,”.
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