在物理光學(xué)中，我們使用麥克斯韋方程組處理電磁場。為了快速求解該方程組，我們將不同的麥克斯韋算子結(jié)合在一個非序列場追跡概念中。進(jìn)一步的，快速物理光學(xué)概念的支柱是：（1）盡可能在k域求解麥克斯韋方程組。（2）根據(jù)處于哪一個場域，使用常規(guī)或幾何傅里葉變換，選擇k域或空間域。（3）通過所謂的雙向算子仿真光學(xué)組件的效應(yīng)。（4）幾何雙向算子的引入。這些概念的結(jié)合產(chǎn)生了一種物理光學(xué)理論，其具有快速建模算法，該算法固有地以定義明確、有說服力的方式應(yīng)用了幾何和衍射模型。
1.場追跡圖
一個光學(xué)系統(tǒng)的麥克斯韋方程組的解可以通過非序列場追跡算法得到[1]。這導(dǎo)致所有通過系統(tǒng)中不同光路的模擬，都由一系列自由空間傳播步驟和與空間中非均勻區(qū)域，例如光學(xué)器件的互作用組成。從光源平面中的場開始，自由空間算子P規(guī)定了在下一個組件平面上的場，其中組件的響應(yīng)由算子B給出。這些算子應(yīng)用于x域或k域。一個光路的模型可以由所謂的場追跡圖說明，圖1給出了相應(yīng)的例子。
圖1 物理光學(xué)中一個光路的場追跡圖模型。參數(shù)j指明了應(yīng)用算子的場參考平面。
盡管電磁場包含六個場分量，場追跡算法仍然可以通過ρ=(x,y)，E┴(ρ,ω)=(Ex(ρ,ω), Ey(ρ,ω))正式地表示，缺失的四個分量可以根據(jù)E┴的需求計算。在k域中，這些計算遵循簡單的代數(shù)方程。
自由空間算子方程由 給出，輸入平面場為 ，輸出平面（輸入平面的下一個算子）的結(jié)果為 。如果輸入/輸出平面不平行，則傳播算子P通過衍射積分和附加的傾斜算子表示自由空間中的傳播[2]。盡管在空間域中，傳播被表示為有大量數(shù)值計算成本的衍射積分，但在k域中，對于平行平面和非平行平面的附加坐標(biāo)變換，我們則有簡單的表達(dá)式（  ）
 (1)
通過選擇常規(guī)或幾何傅里葉變換[3]，可以來回轉(zhuǎn)換k域和空間域，不同的衍射積分遵循空間域中的公式1，包括Rayleigh-Sommerfeld、遠(yuǎn)場和Debye積分。k域中自由空間傳播的簡單性是快速物理光學(xué)選擇k域的一個重要原因。另一個原因是可以從 快速代數(shù)計算 和 。下面將介紹場追跡算法中的B算子。
2.雙向算子
空間域中我們有B算子  ，并且類似的在k域中有  。兩個域中的算子都有矩陣形式，例如k域為
 (2)
這個矩陣中每一個算子都代表一個積分運算符，例如k域中有如下積分形式（忽略ω）
 (3)
其中K²代表輸入組件的一系列k值， V為場分量的位置標(biāo)識符， B表示公式2中一個矩陣元素的積分核函數(shù)。因為(kx,ky)代表k域中傳輸?shù)钠矫娌ǖ姆较�，在K²的子集中核函數(shù)  也可以被理解成方向角度的函數(shù)，說明了B是電磁場的雙向散射分配函數(shù)（BSDF）的概括，盡管BSDF僅僅闡述了場能量效應(yīng)。
圖2 上圖展示了正弦表面光柵中的場，通過有限元方法（FEM）計算。此外，也使用了局部平面近似（LPIA）方法計算。在下圖中展示了兩種方法的結(jié)果，平面中結(jié)果場的振幅標(biāo)為紅色。由Rui Shi提供。
這必然被包含在了公式3中。因為BSDF的關(guān)系，我們選擇 作為雙向算子或者簡化B算子�？偟膩碚f，計算B(k,k')和它在公式3中積分計算的應(yīng)用需要大量的數(shù)值計算而且很慢。但是，在分層介質(zhì)情況下，我們可以得到簡化的形式  ，減少了乘積的積分，并且能夠快速計算k域中的算子[4]。如果我們考慮Hirchhoff邊界條件下的孔徑效應(yīng)，空間域中算子B則變成簡單的因子形式，繼而我們可以在x域中通過選擇合適的傅里葉變化來模擬這個效應(yīng)，這在圖1中通過第一個B算子解釋了。當(dāng)然光學(xué)的主要任務(wù)是研究電磁場傳播通過兩種介質(zhì)間的一般表面，例如透鏡模型。
3.幾何算子
一般表面對場的影響可以通過有限元法（FEM）來計算，但是對于大多數(shù)情況來說，數(shù)值計算成本太高。如果表面的結(jié)構(gòu)不是很小，在大多數(shù)實際情況中通過所謂的局部平面近似（LPIA）方法計算B算子可以得到足夠的精度[5]。在這種近似中，電磁場的邊界條件利用分層介質(zhì)的已知解進(jìn)行局部計算。圖2比較了正弦表面光柵時FMM和LPIA的計算結(jié)果，結(jié)果顯示LPIA對該效應(yīng)預(yù)測的很好，即使是表面上非常小的特征。事實上，我們發(fā)現(xiàn)LPIA是計算公式3中B(k,k')包括矢量效應(yīng)（公式2）的有力手段。需要注意的是，著名的薄元近似（TEA）方法是LPIA的簡化特例。盡管LPIA可以計算雙向算子，我們?nèi)匀恍枰M(jìn)行公式3中大量的數(shù)值積分計算。這導(dǎo)致了LPIA和幾何傅里葉變換的結(jié)合[3]。如果我們假設(shè)輸入場  和輸出場  在它們的幾何場域，它們遵循幾何傅里葉變換理論
 (4)
公式3中的積分再一次簡化為簡單的乘積，其中包括了坐標(biāo)變換k(k')。根據(jù)幾何傅里葉變換理論，這個變換由輸入場的波陣面相位計算得到。我們將公式4中的算子稱為幾何算子。這個結(jié)果已經(jīng)于VirtualLab Fusion中實現(xiàn)。如果場處于其幾何或衍射區(qū)域，則可以在任何平面進(jìn)行數(shù)值測試。根據(jù)結(jié)果，應(yīng)用了不同的傅里葉變換，也以不同的方式應(yīng)用了B算子。這造成了基于純數(shù)學(xué)論證的衍射和幾何模型自然而然地應(yīng)用。建模始終完全基于物理光學(xué)并在數(shù)值效率方面進(jìn)行了優(yōu)化。
參考文獻(xiàn)
[1] M. Kuhn, F. Wyrowski, and C. Hellmann, in vol. 66 of Lecture Notes in Applied and Computational Mechanics, pp. 257 (Springer Berlin Heidelberg, 2013)
[2] S. Zhang, D. Asoubar, C. Hellmann, and F. Wyrowski, Appl. Opt. 55(3), 529 (2016).
[3] F. Wyrowski and C. Hellmann, Proc. DGao, vol. 118, A37 (2017).
[4] S. Zhang, C. Hellmann, and F. Wyrowski, Appl. Opt. 56(15), 4566 (2017).
[5] A. Pfeil, F. Wyrowski, A. Drauschke, and H. Aagedal, Appl. Opt. 39(19), 3304(2000).
[6] Fast physical optics software “Wyrowski VirtualLab Fusion”, developed by Wyrowski Photonics UG, distributed by LightTrans GmbH, Jena, Germany.
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